Question

如圖，已知梯形ABCD的下底邊長AB=8cm，上底邊長DC=1cm，O為AB的中點(diǎn)，梯形的高DO=4cm．動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行，動(dòng)點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運(yùn)行，速度均為每秒1個(gè)單位，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（秒）時(shí)，△OPQ的面積為S（不能構(gòu)成△OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）．
（1）求S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)S的值最大？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分別求出當(dāng)0＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，當(dāng)5＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，△OPQ的底邊和高，再根據(jù)面積公式即可求出S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出當(dāng)0＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，當(dāng)5＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S_△OPQ的最大值，然后找出四個(gè)結(jié)果中最大的即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O為AB的中點(diǎn)，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如圖（1），當(dāng)0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，
過點(diǎn)Q作QF⊥AB，

則PO=4-t，BQ=t，
=，
=，
QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（4-t）t=t-t²；
②如圖（2），當(dāng)4＜t≤5時(shí)，

OP=t-4，QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）t=t²-t；
③如圖（3），當(dāng)5＜t≤6時(shí)，

OP=t-4，QF=4，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×4=2t-8；
④如圖（4），當(dāng)6＜t≤8時(shí)，

∵OA=OD=4
∴AD==4，
∴AD+CD+CB=4+1+5=6+4，
∴AQ=6+4-t，
∵=，
∴=，
∴QF==4-（t-6），
∴S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×[4-（t-6）]=t²+t-8-6；

（2）當(dāng)0＜t＜4時(shí)，t=2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為；
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，t=5S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2；
當(dāng)5＜t≤6時(shí)，t=6S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為4；
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+，
則t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出符合要求的所有圖形．