Question

如圖，O是原點．點P（x，y）且x+y=8，點A的坐標為（6，0），設△OPA的面積為S．
（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍．
（2）若點P在第一象限內，當點P所在的直線與X軸，Y軸分別相交于點B和C，且滿足△BAP∽△CPO，求此時△OPA的面積．
（3）是否存在點P，使△OPA是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x+y=8，∴
y=-x+8，即y是x的一次函數，
∴它過的象限為一，二，四，
①當點P在第一、二象限內．
∵A和P點的坐標分別是（6，0）、（x，y），
∴S=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x．
∴所求的函數關系式為：S=-3x+24，（x＜8）；
②當點P在第四象限內和x軸上時．
S=OA•|y|=-3y=-3（8-x）=-24+3x，（x≥8）．

（2）過點P作PQ⊥X軸，交x軸于點Q．
∵∠OBC=45°，
∴BP=y．
∴CP=（8-y）
∵△BAP∽△CPO，
∴，
即=
∴x=4±2．
∴S_△OAP==12±6．

（3）①當OA=OP時，得點P₁（2，6），P₂（14，-6）；
②當PO=PA時，得點P₃（3，5）；
③當AO=AP時得點．
分析：（1）本題要分兩種情況解答（當點P在第一、二象限內；當點P在第四象限內和x軸上時）．
（2）過點P作PQ⊥X軸，交x軸于點Q，證明△BAP∽△CPO后利用線段比求出x的值，易求S_△OAP．
（3）本題要分三種情況解答（OA=OP；PO=PA；AO=AP）．
點評：本題考查的是相似三角形的判定以及一次函數的綜合運用，考生要注意的是學會全面分析題目解答．