Question

【題目】用反證法證明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有兩個不等實數根，則兩根不可能互為倒數．

Answer 1

【答案】證明：假設若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有兩個不等實數根，且兩根互為倒數，
設兩根為x1 ， x2 ， 由題意可得：x1x2==1，
解得：k=15，
故8x2﹣（15﹣1）x+18﹣7=0
即4x2﹣7x+4=0
則b2﹣4ac=49﹣64=﹣15＜0，
此方程無實數根，故假設不成立，原命題正確，
即若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有兩個不等實數根，則兩根不可能互為倒數．
【解析】首先假設若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有兩個不等實數根，且兩根互為倒數，進而利用根與系數的關系得出k的值，再利用根的判別式得出矛盾，問題得證．
【考點精析】掌握求根公式和反證法是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判定所做的假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法．