Question

設方程x²-x-1=0的兩個根為a、b，求滿足f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1的二次函數f（x）．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：利用一元二次方程的根與系數的關系求得ab=-1，a+b=1，a²+b²=（a+b）²-2ab=3．根據題意知，二次函數經過點（a，b），（b，a），（1，1）．把它們代入二次函數解析式f（x）=kx²+dx+c（k≠0），列出方程組，通過解方程組可以求得k、d、c的值．

解答：解：∵方程x²-x-1=0的兩個根為a、b，
∴ab=-1，a+b=1，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=3．
設f（x）=kx²+dx+c（k≠0）
∵f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1，
∴

ka2+da+c=b，① kb2+db+c=a，② k+d+c=1，③

，
由①-②，得（a+b）k+d=-1，即k+d=-1，④
由①+②，得k（a²+b²）+d（a+b）+2c=a+b，即3k+d+2c=1，⑤
把④代入③解得c=2．
則由⑤得3k+d=-3，⑥
由③⑥解得，k=-1，d=0．
故該二次函數是f（x）=-x²+2．

點評：本題考查函數的解析式的求解及其常用方法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．