Question

如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一條弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點
【小題1】當∠DEF＝時，試說明點G為線段EF的中點；
【小題2】設AE＝，FC＝，用含有的代數式來表示，并寫出的取值范圍
【小題3】如果把△DEF沿直線EF對折后得△，如圖2，當 時，討論△與△是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要寫出結論，不要求寫出理由．

Answer 1

【小題1】∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，
∴AD切圓B于點A．
同理：CD切圓B于點C．
又∵EF切圓B于點G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G為線段EF的中點．
【小題2】根據（1）中的線段之間的關系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根據勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y= （0＜x＜1）．
【小題3】當EF= 時，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+ = ，
解得x₁= 或x₂= ．
①當AE= 時，△AD₁D∽△ED₁F，
證明：設直線EF交線段DD₁于點H，由題意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE= ，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠ED₁F=∠AD₁D．
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②當AE= 時，△ED₁F與△AD₁D不相似．解析:
此題綜合運用了切線長定理、相似三角形的判定和性質；能夠發現正方形，根據正方形的性質進行分析證明