Question

如圖1，二次函數y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，且A、B兩點的坐標分別是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝(1)求拋物線解析式；(2)點M為拋物線上一點，若以MB為直徑的圓與直線BC相切于點B，求點M的坐標；(3) 如圖2，若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=－x的動點，是否存在以點P、Q、C、O為頂點且以OC為一邊的四邊形是直角梯形；如果存在，請求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)解：因為二次函數y=ax²+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，且A、B兩點的坐標分別是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝
所以C（0,4）設拋物線方程為
所以得到所求的解析式為
(2)解：設點m(x,y),則由以MB為直徑的圓與直線BC相切于點B，說明了點B為直徑的一個端點，另外，BC直線方程為y=2x+4,利用BM的中點就是圓心坐標（），且，BM垂直于CB，因此聯立方程組可得M 
(3)解：假設存在以點P、Q、C、O為頂點且以OC為一邊的四邊形是直角梯形
則有幾種情況的一種直角為C，直角為P，直角為O,直角為Q的情況 ，那么分情況討論求解，利用一組對邊平行，一個角為直角，進行求解得到P₁(2,4)   P₂(－2,0)    P₃(4,0)    P₄(－4,－8)
(共5種情況，有兩種情況點P重合)解析:
(1)利用A、B兩點的坐標和tan∠BCO＝求拋物線解析式
(2)設點m(x,y),則由以MB為直徑的圓與直線BC相切于點B，說明了點B為直徑的一個端點，另外，BC直線方程為y=2x+4,利用BM的中點就是圓心坐標，BM垂直于CB，因此聯立方程組可得M的坐標
（3）假設存在以點P、Q、C、O為頂點且以OC為一邊的四邊形是直角梯形
則有幾種情況的一種直角為C，直角為P，直角為O,直角為Q的情況 ，那么分情況討論求解，利用一組對邊平行，一個角為直角，進行求解