Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=

1

2

，∠CAD=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由于sinB=

1

2

，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；
（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．

解答：證明：連接OA，
（1）∵sinB=

1

2

，
∴∠B=30°，
∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）∵OC⊥AB，OC是半徑，
∴BE=AE，
∴OD是AB的垂直平分線，
∴∠DAE=60°，∠D=30°，
在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC=

5

2

3

，
∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5

3

．

點評：本題利用了三角函數值、圓周角定理、等邊對等角、等邊三角形的判定和性質、切線的判定、垂直平分線的判定和性質、直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半．