Question

（2013•嘉定區二模）已知平面直角坐標系xOy（如圖），拋物線y=

1

2

x2+bx+c經過點A（-3，0）、C（0，-

3

2

）．
（1）求該拋物線頂點P的坐標；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）設Q是（1）中所求出的拋物線的一個動點，點Q的橫坐標為t，當點Q在第四象限時，用含t的代數式表示△QAC的面積．

Answer 1

分析：（1）將已知點的坐標代入到給定的函數的解析式中求解即可；
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直線AP的解析式，然后表示出有關線段長，從而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可．

解答：解：（1）將A（-3，0）、C（0，-

3

2

）．代入y=

1

2

x2+bx+c得
 

(-3)2 2 -3b+c=0 c=- 3 2

   解得 

b=1 c=- 3 2

        
所以拋物線的表達式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．
其頂點P的坐標為（-1，-2）．…（1分）
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H．
設直線AP的表達式為y=kx+b，
將A（-3，0）、P（1，-2）代入，得

-3k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=-1 b=-3

．
∴y=-x-3．
進而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°=

3 2

4

．
在Rt△AOG中，AG=

OG

cos45°

=3

2

，
∴AH=AG-HG=

9 2

4

∴tan∠CAP=

CH

AH

=

1

3

．

（3）設Q（t，

1

2

t²+t-

3

2

），
由Q在第四象限，得|t|=t，|

1

2

t²+t-

3

2

|=-

1

2

t²-t+

3

2

）．
聯結OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC=

1

2

×|-3|×|-

3

2

|=

9

4

，S_△QOC=

1

2

×|-

3

2

|×t=

3

4

t，
S_△AOQ=

1

2

×|-3|×|

1

2

t²+t-

3

2

|=-

3

4

t²-

3

2

t+

9

4

，
∴S_△QAC=

9

4

+

3

4

t-（-

3

4

t²-

3

2

t+

9

4

）=

3

4

t²+

9

4

t．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合題目，利用一般式求二次函數解析式及解直角三角形是考查的重點內容，同學們應學會應用．