Question

閱讀材料：

如圖，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S_△ABC＝ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：

如圖，拋物線頂點坐標為點C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B．

(1)求拋物線和直線AB的解析式；

(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連接PA、PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；

(3)是否存在一點P，使S_△PAB＝S_△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設拋物線的解析式為：y1＝a(x－1)2＋4． 　　把A(3，0)代入解析式求得a＝－1． 　　所以y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． 　　設直線AB的解析式為y2＝kx＋b． 　　由y1＝－x2＋2x＋3求得B點的坐標為(0，3)． 　　把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b中， 　　解得k＝－1，b＝3． 　　所以y2＝－x＋3． 　　(2)因為C點坐標為(1，4)， 　　所以當x＝1時，y1＝4，y2＝2． 　　所以CD＝4－2＝2． 　　S△CAB＝×3×2＝3． 　　(3)假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h， 　　則h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x． 　　由S△PAB＝S△CAB， 　　得×3×(－x2＋3x)＝×3． 　　化簡，得4x2－12x＋9＝0． 　　解得x＝． 　　將x＝代入y1＝－x2＋2x＋3中， 　　解得P點坐標為(，)．