Question

【題目】如圖（1），已知點E在正方形ABCD的對角線BD上，EG⊥BC，垂足為點G，EF⊥AB，垂足為點F．

（1）證明與猜想：

①求證：△BEF∽△BDA；

②猜想：的值為　 　：

（2）探究與證明：

將正方形BFEG繞點B順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段DE與CG之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展與運用：正方形BFEG在旋轉過程中，當A，F，G三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長BE交CD于點H．若DE＝3，EH＝，則BC＝　 　．

Answer 1

【答案】(1) ①證明如下，②.(2)DE=CG (3)

【解析】

（1）①，由EG⊥BC，EF⊥AB結合∠ABC=∠BFE=∠BGE=90°可得四邊形BGEF是矩形，再由∠ABD=45°即可得證；

②，由正方形性質知∠A=90°、∠ABD=45°，據此可得的值、EF∥AD，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接BE，只需證△DBE∽△CBG即可得；

（3），根據相似三角形的判定得到△BCH∽△DGB，由相似三角形的性質得到，設BG=a，BC=x，帶入，聯立Rt△BGD中，勾股定理得BD2=BG2+DG2，計算得到答案.

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，∠ABD=45°.

∵EG⊥BC，EF⊥AB，

∴∠ABC=∠BFE=∠BGE=90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠ABD=∠CBD=45°，

∴BF=EF，

∴四邊形BGEF是正方形

∴EF∥AD

∴△BEF∽△BDA

②由①知四邊形BGEF是正方形，△BEF∽△BDA

∴∠BAD=90°，∠ABD=45°，

∴=，△BEF∽△BDA，

∴=；

（2）

連接BE，

△DBC∽△EBG（兩等腰直角三角形相似）

∴

∴

又∵∠DBE=∠CBG

∴△DBE∽△CBG

∴

（3）∵∠DBE=∠CBG，∠DBE+∠BDE=45°∠CBG+∠HBC=45°

∴∠BDG=∠HBC

又∠G=∠BCH=90°

△BCH∽△DGB

設BG=a，BC=x

，即，得x2=（a+1）（a+3）①

在Rt△BGD中，勾股定理得BD2=BG2+DG2

即2x2=a2+（a+3）2②

聯立①②得a=，x=，故BC=.