Question

如圖，已知圓內接四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點N，點M在對角線BD上，且滿足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求證：（1）M為BD的中點；
（2）

AN

CN

=

AM

CM

．

Answer 1

分析：（1）要證M為BD的中點，即證BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圓周角的性質易證明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘積形式，可證明BM=DM；
（2）欲證

AN

CN

=

AM

CM

，可以通過平行線的性質證明，需要延長AM交圓于點P，連接CP，證明PC∥BD，得出比例式，相應解決MP=CM的問題即可．

解答：證明：
（1）根據同弧所對的圓周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴

BM

CM

=

AM

BM

，即BM²=AM•CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
則

DM

CM

=

AM

DM

，即DM²=AM•CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M為BD的中點．

（2）如圖，延長AM交圓于點P，連接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴

AN

NC

=

AM

PM

．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
則∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得

AN

CN

=

AM

CM

．

點評：本題考查了相似三角形的性質，圓周角的性質，是一道較難的題目．