Question

已知關于x的方程x²+x+a-a²=0和x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0．問是否存在這樣的a值，使得第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一個整數根？若存在，求出這樣的a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

第一個方程x²+x+a-a²=0，即有（x+a）（x+1-a）=0，
∴x₁=-a，x₂=a-1，
故x₁²+x₂²=a²+（a-1）²=2a²-2a+1，
由第二方程x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0，
得[x-（2a+1）][x-（a-2）]=0，
x₃=2a+1，x₄=a-2，
若x₃為整數，則2a²-2a+1=2a+1，解得a=0或2，此時x₃=1或5，
若x₄為整數，則2a²-2a+1=a-2，即2a²-3a-3=0，此方程無實數根，
綜上可知，當a=0或2時，第一個方程的兩個實數根的平方和等于第二個方程的一個整數根．