Question

在△ABC中，AD⊥BC，在BC邊上任取一點P，（P不與B、C重合），過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，連接EF．

（1）如圖1，當△ABC為等腰直角三角形時，試說明△DEF與△ABC相似；
（2）如圖2，當△ABC為任意直角三角形時，△DEF與△ABC還相似嗎？說明理由；
（3）如圖2，如果△ABC為直角三角形，且AB=3，AC=4，當點P在BC邊上運動到何處時，△DEF的面積最小？面積最小值為多少？簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）若△ABC是等腰直角三角形，則△CPF也是等腰直角三角形，即CF=PF，易證得四邊形PEAF是矩形，則CF=PF=AE，然后可證△ADE≌△CDF，通過全等三角形所得到的等角和等邊，來證得△DEF是等腰直角三角形，由此說明△DEF與△ABC相似．
（2）題（1）的結論仍然成立，方法與（1）稍有不同，證全等改為證相似；由于PF⊥AC，易證得△CFP∽△CDA，得CF：PF=CD：AD，同（1）可證得PF=AE，即CF：AE=CD：AD，而它們的夾角∠EAD=∠FCD，由此可證得△CFD∽△AED，然后按照（1）的方法，根據相似三角形得到的等角和比例線段，來證得Rt△EDF∽Rt△BAC．
（3）欲求△DEF的面積最小值，需求得△DEF的面積表達式，設CP=5x，根據勾股定理易求得BC的長，那么即可用x表示出PF、CF的長，進而可得AE、AF的長，利用勾股定理可求出EF的表達式，（2）題中已證得△DEF∽△ABC，因此它們的面積比等于相似比的平方，△ABC的面積易求得，即可得到關于△DEF的面積和x的函數關系式，根據函數的性質即可求得△DEF的最小面積以及對應的x的值，由此可確定CP的長，即可判斷出P點在線段BC上的位置．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，
∵∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AE=PF，
∵∠FPC=∠C=45°，
∴PF=CF，
∴AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF；
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴△DEF與△ABC相似．

（2）解：△DEF與△ABC仍相似，理由如下：
同（1）可知：四邊形AEDF是矩形，則PF=AE；
∵∠PFC=∠ADC=90°，∠C公共，
∴△CFP∽△CAD，則有：

CF

PF

=

CF

AE

=

CD

AD

，
又∵∠EAD=∠FCD，
∴△FCD∽△EAD；
∴∠ADE=∠CDF，即∠EDF=90°；
且

DE

DF

=

AD

DC

=

AB

AC

；
又∵∠EDF=∠BAC，
∴△EDF∽△BAC．

（3）解：若△ABC是直角三角形，且AB=3，AC=4，則：
BC=5，S_△ABC=

1

2

AB•AC=6；
設CP=5x，依題意，則有：
CF=4x，PF=AE=3x，AF=AC-AF=4-4x；
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
EF²=AE²+AF²=9x²+（4-4x）²=25x²-32x+16；
∵△DEF∽△ABC，
∴

S△DEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²，即

S△DEF

6

=

25x2-32x+16

25

；
∴S_△DEF=6x²-

32×6

25

x+

96

25

=6（x-

16

25

）²+

864

625

，
故當x=

16

25

，即CP=

16

5

時，△DEF的面積最小；
由于CD=

AC2

BC

=

16

5

，所以當P運動到和D點重合時，△AEF的面積最小，且最小值為

864

625

．

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質；（2）題中，要根據兩步相似來證所求的結論，（3）題中熟練掌握相似三角形的性質（相似三角形的面積比等于相似比的平方）是解決問題的關鍵．