Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P在AB上AP=2．點E、F同時從點P出發，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后以原速度沿AB向點B運動．點F運動到點B時停止．點E也隨之停止運動．在點E、F運動過程中．以EF為邊作正方形 EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側，設點E、F運動的時間為t秒（t＞0），正方形 EFGH它與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）寫出AC、BC的長；
（2）當t=1時，正方形 EFGH的邊長是______，當t=3時，正方形 EFGH的邊長為______；
（3）當0＜t≤2時，求S與t的函數關系式．
（4）直接寫出，在整個運動過程中，當正方形 EFGH它與△ABC重疊部分是直角梯形時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設AC=4x，則BC=3x，根據勾股定理可得方程，從而求出AC、BC的長；
（2）當t=1時，可得，EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當t=3時，PE=1，PF=3，即EF=4；
（3）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當0＜t≤時；②當＜t≤時；③當＜t≤2時；依次求S與t的函數關系式；
（4）E點與A點重合或F點與B點重合時，正方形EFGH與△ABC重疊部分是直角梯形，依此得到t的取值．
解答：解：（1）設AC=4x，則BC=3x，依題意有
（4x）²+（3x）²=10²，
解得x₁=2，x₂=-2（負值舍去），
則AC=4x=8、BC=3x=6．
故AC的長為8、BC的長為6；

（2）當t=1時，則PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的邊長是2；
當t=3時，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長是4．
故答案為：2，4；

（3）當正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀為正方形時，0＜t≤，
S與t的函數關系式是S=2t×2t=4t²；
當t=時EFGM是梯形，
故當＜t≤時，
S與t的函數關系式是：
S=4t²-×[2t-（2-t）]×[2t-（2-t）]，
=-t²+t-；
當＜t≤2時；
S與t的函數關系式是：
S=（t+2）×（t+2）-×（2-t）（2-t）=3t；

（4）當t=1或6時，正方形EFGH與△ABC重疊部分是直角梯形．
點評：此題主要考查了動點函數問題，其中應用到了相似形、正方形及勾股定理的性質，鍛煉了學生運用綜合知識解答題目的能力．