Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF=90°．求證：BE=CF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根據ASA即可證出△FBC≌△EAB；
（2）過A作AM∥GH，交BC于M，過B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于點O′，利用平行四邊形的判定，可知四邊形AMHG和四邊形BNFE是?，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，結合平行線的性質，可知∠AO′N=90°，那么此題就轉化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，
∴AB=BC，
∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
又∵∠FBC+∠OBA=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE=CF；
（2）解：如圖，過點A作AM∥GH交BC于M，
過點B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點O′，
則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，
∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A=90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
點評：本題利用了正方形的性質、平行四邊形的判定、平行線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，關鍵是作輔助線，構造全等三角形．