Question

如圖，已知在⊙O中，CD過圓心O交⊙O于點P，作AB⊥CD，垂足為D，過點C任作一條弦CF交AB于點E．
（1）求證：CB²=CE•CF；
（2）連接BP，若BD：CD=2：3，求sin∠BPD的值．

Answer 1

（1）證明：連接AC、AF，
∵CD過圓心，且AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠CAE=∠F，
又∵∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴=，
即AC²=CE．CF，
∴CB²=CE．CF；

（2）解：連接BP，
∵CP是⊙O直徑，
∴∠CBP=90°，
∵BD⊥CP，
∴∠BPD=∠CBD，
∵BD：CD=2：3，
設BD=2k，CD=3k，
在Rt△BCD中，BC==，
∴sin∠CBD===sin∠BPD．
分析：（1）連接AC、AF，根據(jù)已知條件，易證△ACE∽△FCA，所以=，即AC²=CE．CF．
（2）連接BP，因為BD：CD=2：3，設BD=2k，CD=3k，在Rt△BCD中，BC==，所以sin∠CBD===sin∠BPD．
點評：本題主要考查了三角形的相似的判定和性質(zhì)，題目典型，是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質(zhì)．