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已知關于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
①小明同學說:無論k取何實數,方程總有實數根,你認為他說的有道理嗎?
②若等腰三角形的一邊a=1,另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根,求△ABC的周長和面積.
【答案】分析:(1)計算方程的根的判別式即可說明其根的情況;
(2)已知a=1,則a可能是底,也可能是腰,分兩種情況求得b,c的值后,再求出△ABC的周長.注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗.
解答:解:(1)∵△=(k+2)2-4×1×2k=k2+4k+4-8k=k2-4k+4=(k-2)2≥0,
∴方程無論k取何值,總有實數根,
∴小明同學的說法合理;
(2)①當b=c時,則△=0,
即(k-2)2=0,
∴k=2,
方程可化為x2-4x+4=0,
∴x1=x2=2,
而b=c=2,
∴C△ABC=5,S△ABC=;

②當b=a=1,
∵x2-(k+2)x+2k=0.
∴(x-2)(x-k)=0,
∴x=2或x=k,
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根,
∴k=1,
∴c=2,
∵a+b=c,
∴不滿足三角形三邊的關系,舍去;
綜上所述,△ABC的周長為5.
點評:本題考查了根與系數的關系,一元二次方程總有實數根應根據判別式來做,兩根互為相反數應根據根與系數的關系做,等腰三角形的周長應注意兩種情況,以及兩種情況的取舍.
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(2)若等腰△ABC的一邊長為a=6,另兩邊長b,c恰好是這個方程的兩個根,求此三角形的周長.

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