Question

在函數中，我們規定：當自變量增加一個單位時，因變量的增加量稱為函數的平均變化率．例如，對于函數y＝3x＋1，當自變量x增加1時，因變量y＝3(x＋1)＋1＝3x＋4，較之前增加3，故函數y＝3x＋1的平均變化率為3．

（1）①列車已行駛的路程s（km）與行駛的時間t（h）的函數關系式是s＝300t，該函數的平均變化率是   ▲   ；其蘊含的實際意義是    ▲   ；

②飛機著陸后滑行的距離y（m）與滑行的時間x（s）的函數關系式是y＝－1.5x²＋60x，求該函數的平均變化率；

（2）通過比較（1）中不同函數的平均變化率，你有什么發現；

（3）如圖，二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖像經過第一象限內的三點A、B、C，過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，AM⊥BE，垂足為M，BN⊥CF，垂足為N，DE＝EF，試探究△AMB與△BNC面積的大小關系，并說明理由．

 

Answer 1

解：（1）①300；列車的速度．

②該函數的變化率為：

－1.5(x＋1)²＋60(x＋1)－[－1.5x²＋60x]＝－3x＋58.5．…………4分

（2）一次函數的變化率是常量，二次函數的變化率是變量．（僅從勻速和變速角度出發，得1分） ………………………………………………6分

（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x軸，

∴∠ADE＝∠DEM＝∠EMA＝90°，∴四邊形ADEM為矩形，

∴AM＝DE．同理可得BN＝EF．∵DE＝EF，∴AM＝BN．

設DE＝EF＝n(n＞0)，當x增加n時y增加了w．

則w＝a(x＋n)²＋b(x＋n)＋c－(ax²＋bx＋c)＝2anx＋an²＋bn

∵該二次函數開口向上，∴a＞0．

又∵n＞0，∴2an＞0．∴w隨x的增大而增大．即BM＜CN．

∵S_△AMB＝AM·BM，S_△BNC＝BN·CN，

∴S_△AMB＜S_△BNC． ……………………………………………………9分