Question

（2013•玄武區一模）在函數中，我們規定：當自變量增加一個單位時，因變量的增加量稱為函數的平均變化率．例如，對于函數y=3x+1，當自變量x增加1時，因變量y=3（x+1）+1=3x+4，較之前增加3，故函數y=3x+1的平均變化率為3．
（1）①列車已行駛的路程s（km）與行駛的時間t（h）的函數關系式是s=300t，該函數的平均變化率是

300

；其蘊含的實際意義是

列車的速度

；
②飛機著陸后滑行的距離y（m）與滑行的時間x（s）的函數關系式是y=-1.5x²+60x，求該函數的平均變化率；
（2）通過比較（1）中不同函數的平均變化率，你有什么發現；
（3）如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過第一象限內的三點A、B、C，過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，AM⊥BE，垂足為M，BN⊥CF，垂足為N，DE=EF，試探究△AMB與△BNC面積的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由給出的材料可知300為平均變化率，其蘊含的實際意義是：列車的速度；
②根據例題：對于函數y=3x+1，當自變量x增加1時，因變量y=3（x+1）+1=3x+4，較之前增加3，故函數y=3x+1的平均變化率為3，可計算y=-1.5x²+60x，該函數的平均變化率；
（2）由（1）中的結論可知：一次函數的變化率是常量，二次函數的變化率是變量；
（3）△AMB與△BNC面積的大小關系為S_△AMB＜S_△BNC，首先證明四邊形ADEM為矩形，根據矩形的性質和（1），（2）中的信息以及二次函數的性質即可比較以上兩個三角形的面積大小．

解答：解：（1）由題意可知①300；列車的速度，
②該函數的變化率為：
-1.5（x+1）²+60（x+1）-[-1.5x²+60x]=-3x+58.5；

（2）一次函數的變化率是常量，二次函數的變化率是變量；

（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x軸，
∴∠ADE=∠DEM=∠EMA=90°，
∴四邊形ADEM為矩形，
∴AM=DE．
同理可得BN=EF．
∵DE=EF，
∴AM=BN．
設DE=EF=n（n＞0），當x增加n時y增加了w．
則w=a（x+n）²+b（x+n）+c-（ax²+bx+c）=2anx+an²+bn
∵該二次函數開口向上，
∴a＞0．
又∵n＞0，
∴2an＞0．
∴w隨x的增大而增大．即BM＜CN．
∵S_△AMB=

1

2

AM•BM，S_△BNC=

1

2

BN•CN，
∴S_△AMB＜S_△BNC．
故答案為：300．列車速度．

點評：本題考查了函數的平均變化率的問題以及矩形的判定和性質、二次函數的增減性以及三角形的面積公式，題目難度不大，設計新穎，很好的鍛煉了學生的解題和讀題能力．