Question

如圖所示，MN表示深圳地鐵二期的一段設計路線，從M到N的走向為南偏東30°，在M的南偏東60°方向上有一點A，以A為圓心，500m為半徑的圓形區域為居民區．取MN上的另一點B，測得BA的方向為南偏東75度．已知MB=400m．通過計算判斷，如果不改變方向，地鐵路線是否會穿過居民區，并說明理由．
（

3

≈1.732）
解：地鐵路線

 

（填“會”或“不會”）穿過居民區．

Answer 1

分析：問地鐵路線是否會穿過居民區，其實就是求A到MN的距離是否大于圓形居民區的半徑．如果大于則不會穿過，反正則會．如果過A作AC⊥MN于C，那么求AC的長就是解題關鍵．在直角三角形AMC和ABC中，AC為共有直角邊，可用AC表示出MC和BC的長，然后根據MB的長度來確定AC的值．

解答：解：地鐵路線不會穿過居民區．
理由：過A作AC⊥MN于C，設AC的長為xm，
∵∠AMN=30°，
∴AM=2xm，MC=

3

xm，
∵測得BA的方向為南偏東75°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=x，
∵MB=400m，
∴

3

x-x=400，
解得：x=

400

3 -1

=200(

3

+1)（m）
≈546（m）＞500（m）
∴不改變方向，地鐵線路不會穿過居民區．

點評：當兩個直角三角形有公共的直角邊時，一般是利用這條公共邊來解決問題，這也是解這類題的一般思路．