Question

問題背景：
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數關系式為：（x＞0），利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值．
提出新問題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析問題：
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了．
解決問題：
借鑒我們已有的研究函數的經驗，探索函數（x＞0）的最大（小）值．
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數（x＞0）的圖象：

x	…	1/4	1/3	1/2	1	2	3	4	…
y	…			5	4	5			…

（2）觀察猜想：觀察該函數的圖象，猜想當x=______時，函數（x＞0）有最______值（填“大”或“小”），是______．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數（x＞0）的最大（小）值，以證明你的猜想．〔提示：當x＞0時，〕

Answer 1

解：（1）當x=時，y=2×（+4）=，
當x=時，y=2×（+3）=，
當x=時，y=2×（+2）=5，
當x=1時，y=2×（1+1）=4，
當x=2時，y=2×（2+）=5，
當x=3時，y=2×（3+）=，
當x=4時，y=2×（4+）=．
函數圖象如右圖：

（2）由（1）的計算結果和函數圖象知：當x=1時，y=2（x+）有最小值，且最小值為4．

（3）證明：∵x＞0，且x=（）²，
∴y=2（x+）=2[（）²-2+（）²]+4=2（-）²+4；
∴當=，即x=1時，函數y=2（x+）有最小值，且最小值為4．
分析：（1）將x的值代入已知的函數解析式中，在確定了各點的坐標后，再通過描點-連線作出函數的圖形．
（2）通過（1）的計算結果和函數圖象即可得到結論．
（3）題干最后的“提示”已經給出了解題的思路，首先可以將函數化為：y=2（x+）=2（-）²+2，根據x的取值范圍即可判斷出y的最小值．
點評：此題主要考查的是利用配方法求函數最小（大）值的方法；通過給出的材料，以常見的二次函數作為樣例，提出了較復雜函數最值的解法，充分理解閱讀部分的含義是解題的關鍵．