Question

【題目】如圖，在中，， ，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）.以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于，連接.

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)（如圖），求的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得，此時(shí).

【解析】

（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；

（2）解直角三角形得到BC，由，推出得到，由，得到，即可求出AE；

（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

則，由得到，推出，得到

，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)即可求解.

（1），

，

，

.

.

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

在中，設(shè)，則，

由勾股定理，得.

，

，

，

.

,

.

又，

.

，

.

.

.

，

.

.

（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

則

四邊形為矩形，

，.

，

.

在中，由勾股定理，得.

，，

．

,

.

.

.

.

當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)不與點(diǎn)重合，可知為等腰三角形，

又，

，

，

所以，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得，此時(shí).