Question

【題目】如圖，以⊙O的弦AB為斜邊作Rt△ABC，C點在圓內，邊BC經過圓心O，過A點作⊙O的切線AD．

（1）求證：∠DAC＝2∠B；

（2）若sinB＝，AC＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AO，由AD為切線，根據切線的性質得∠OAD＝90°，從而由同角的余角相等得結論；

（2）設⊙O的半徑OA＝r，求出BC＝8，然后在Rt△ACO中根據勾股定理列方程可得結論．

（1）證明：連接OA，

∵AD是⊙O的切線，

∴OA⊥AD，

∴∠OAD＝∠CAD+∠OAC＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠OAC+∠AOC＝90°，

∴∠CAD＝∠AOC，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB，

∴∠CAD＝∠AOC＝∠B+∠OAB＝2∠B；

（2）解：設OA＝r，則OB＝r，

在Rt△CAB中，sinB＝，

∵AC＝6，

∴AB＝10，

∴BC＝8，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+CO2＝AO2，

∴62+（8﹣r）2＝r2，

解得：r＝，

答：⊙O的半徑是．