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如圖,在⊙O中,直徑AB=2,CA切⊙O于A,BC交⊙O于D,若∠C=45°,則
(1)BD的長是______
【答案】分析:(1)連接AD,由于AC是⊙O的切線,所以AB⊥AC,再根據∠C=45°可知AB=AC=2,由勾股定理可求出BC的長,由于AB是⊙O的直徑,所以∠ADB=90°,故D是BC的中點,故可求出BD的長度;
(2)連接OD,因為O是AB的中點,D是BC的中點,所以OD是△ABC的中位線,所以OD⊥AB,故=,所以與弦BD組成的弓形的面積等于與弦AD組成的弓形的面積,所以S陰影=S△ABC-S△ABD,故可得出結理論.
解答:解:(1)連接AD,
∵AC是⊙O的切線,
∴AB⊥AC,
∵∠C=45°,
∴AB=AC=2,
∴BC===2
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴D是BC的中點,
∴BD=BC=;

(2)連接OD,
∵O是AB的中點,D是BC的中點,
∴OD是△ABC的中位線,
∴OD=1,
∴OD⊥AB,
=,
與弦BD組成的弓形的面積等于與弦AD組成的弓形的面積,
∴S陰影=S△ABC-S△ABD=AB•AC-AB•OD=×2×2-×2×1=2-1=1.
點評:本題考查的是切線的性質,涉及到三角形的面積、等腰三角形的性質及三角形中位線定理、圓周角定理,根據題意作出輔助線,構造出直角三角形是解答此題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在⊙O中,直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于D,則BC=
 
cm,∠ABD=
 
度.

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精英家教網如圖,在⊙O中,直徑CD的長度為10cm,AB是弦,且AB⊥CD于M,OM=3cm,求弦AB的長.

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如圖,在⊙O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,連接AC,將△ACE沿AC翻折得到△ACF,直線F精英家教網C與直線AB相交于點G.
(1)證明:直線FC與⊙O相切;
(2)若OB=BG,求證:四邊形OCBD是菱形.

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(2013•百色)如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于弦AB,若∠C=25°,則∠ABO的度數是( 。

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(2012•朝陽區二模)如圖,在⊙O中,直徑AB⊥弦CD于點H,E是⊙O上的點,若∠BEC=25°,則∠BAD的度數為( 。

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