Question

金銀花自古被譽為清熱解毒的良藥，同時也是很多高級飲料的常用原料．“渝蕾一號”為重慶市中藥研究院所選育的金銀花優良品種，較傳統金銀花具有質量好、產量高、結蕾整齊等優點．某花農于前年引進一批“渝蕾一號”金銀花種苗進行種植，去年第一次收獲．因金銀花入藥或作飲料需要使用干燥花蕾，該花農將收獲的新鮮金銀花全部干燥成干花蕾后出售．根據經驗，每畝鮮花蕾產量y（千克）與每畝種苗數x（株）滿足關系式：y=-0.1x²+24.15x-440，每畝成本z（元）與每畝種苗數x（株）之間的函數關系滿足下表：

每畝種苗數x（株）	100	110	120	130	140
每畝成本z（元）	1800	1860	1920	1980	2040

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，求出z與x的函數關系式；
（2）若該品種金銀花的折干率為20%（即每100千克鮮花蕾，干燥后可得20千克干花蕾），去年每千克干花蕾售價為200元，則當每畝種苗數x為多少時，每畝銷售利潤W可獲得最大值，并求出該最大利潤；（利潤=收入-成本）
（3）若該花農按照（2）中獲得最大利潤的方案種植，并不斷改善養植技術，今年每畝鮮花蕾產量比去年增加2a%．但由于市場上同類產品數量猛增，造成每千克干花蕾的售價比去年降低0.5a%，結果今年每畝銷售總額為45810元．請你參考以下數據，估算出a的整數值（0＜a＜10）．（參考數據：

5

≈2.24，

6

≈2.45，

7

≈2.65，

8

≈2.83）

Answer 1

（1）由表格知，z為x的一次函數，設z=kx+b（k≠0）．
∵當x=100時，z=1800；當x=110時，z=1860，
∴

100k+b=1800 110k+b=1860

，
解得

k=6 b=1200

，
∴z=6x+1200，
當x=100時，z=1800，
經檢驗，表格中每組數據均滿足該關系式，
∴該函數關系式為z=6x+1200；

（2）由題意知，W=200•20%y-z
=200•20%（-0.1x²+24.15x-440）-（6x+1200）
=-4x²+960x-18800=-4（x-120）²+38800，
∵-4＜0，
∴當x=120時，W_最大=38800，
∴當每畝種苗數為120株時，每畝銷售利潤W可獲得最大值，最大利潤為38800元；

（3）∵當x=120時，z=1920，
∴y=（38800+1920）÷（200×20%）=1018，
根據題意有20%•1018（1+2a%）•200（1-0.5a%）=45810，
設a%=m，則原方程可化為8m²-12m+1=0，
解得 m=

12±4 7

16

=

3± 7

4

≈

3±2.65

4

，
∴m1≈

3+2.65

4

=1.4125，m2≈

3-2.65

4

=0.0875，
∴a₁=100m₁=141.25＞10（舍去）   a₂=100m₂=8.75≈9，
∴a的值約為9．