Question

某校九年級（2）班在測量校內旗桿高度的數學活動中，第一組的同學設計了兩種測量方案，并根據測量結果填寫了如下《數學活動報告》中的一部分．
數學活動報告
活動小組：第一組
活動地點：學校操場
活動時間：××××年××月××日年上午9：00
活動小組組長：×××

課題	測量校內旗桿高度
目的	運用所學數學知識及數學方法解決實際問題----測量旗桿高度
方案	方案一	方案二	方案三
示意圖
測量工具	皮尺、測角儀	皮尺、測角儀
測量數據	AM=1.5m，AB=10m ∠α=30°，∠β=60°	AM=1.5m，AB=20m ∠α=30°，∠β=60°
計算過程（結 果保留根號）	解：	解：

（1）請你在方案一二中任選一種方案（多選不加分），根據方案提供的示意圖及相關數據填寫表中的計算過程、測量結果；
（2）請你根據所學的知識，再設計一種不同于方案一、二的測量方案三，并完成表格中方案三的所有欄目的填寫．（要求：在示意圖中標出所需的測量數據長度用字母a，b，c…表示，角度用字母α，β，γ…表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）方案一與方案二均涉及多個直角三角形，應結合圖形中直角三角形的角邊關系，構造方程關系式，進而可求出答案．
（2）根據題意，設計測量方法，要求符合三角函數的定義，且易于操作即可．
解答：解：
方案一（計算過程）
在Rt△ACD中，AC=DC•cotαRt△BCD中，BC=DC•cotβ，
∵AB=AC-BC，∴（cot30°-cot60°）DC=10，，
解得；
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5+1.5）m；
（測量結果）：DN=（5+1.5）m；

方案二（計算過程）
在Rt△ACD中，AC=DC÷tanαRt△BCD中，BC=DC÷tanβ，
∵AB=AC+BC，∴，
解得
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5+1.5）m；
（測量結果）：DN=（5+1.5）m；

方案三（不惟一）
能正確畫出示意圖
（測量工具）：皮尺、測角儀；（測量數據）：AM=a，AC=b，∠DAC=α
（計算過程）解：在Rt△ACD中，CD=b•tanα，
∵DN=DC+CN，AM=CN，
∴DN=b•tanα+a；
（測量結果）：DN=b•tanα+a．
點評：【命題意圖】本題是以活動報告的形式呈現，要求學生在閱讀理解的基礎上，進行有關測量方案的設計．當然，這里所需解決的問題并非閱讀方案就能解決的，需要學生觀察、分析比較，進行適度的轉化與遷移，從而確定新方案．此外，在幾何背景中需要學生對幾何圖形的直觀感受，最終需要學生進行清晰的書面表達，因而本題較好地考查了直角三角形的有關知識和閱讀理解、幾何直覺、合情推理、書面表達等多種能力，較好的體現了對數學活動過程的考查．