Question

某校九年級（2）班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學活動中，第一組的同學設(shè)計了兩種測量方案，并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學活動報告》中的一部分．
數(shù)學活動報告
活動小組：第一組
活動地點：學校操場
活動時間：××××年××月××日年上午9：00
活動小組組長：×××

課題	測量校內(nèi)旗桿高度
目的	運用所學數(shù)學知識及數(shù)學方法解決實際問題----測量旗桿高度
方案	方案一	方案二	方案三
示意圖
測量工具	皮尺、測角儀	皮尺、測角儀
測量數(shù)據(jù)	AM=1.5m，AB=10m ∠α=30°，∠β=60°	AM=1.5m，AB=20m ∠α=30°，∠β=60°
計算過程（結(jié) 果保留根號）	解：	解：

（1）請你在方案一二中任選一種方案（多選不加分），根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計算過程、測量結(jié)果；
（2）請你根據(jù)所學的知識，再設(shè)計一種不同于方案一、二的測量方案三，并完成表格中方案三的所有欄目的填寫．（要求：在示意圖中標出所需的測量數(shù)據(jù)長度用字母a，b，c…表示，角度用字母α，β，γ…表示）

Answer 1

分析：（1）方案一與方案二均涉及多個直角三角形，應(yīng)結(jié)合圖形中直角三角形的角邊關(guān)系，構(gòu)造方程關(guān)系式，進而可求出答案．
（2）根據(jù)題意，設(shè)計測量方法，要求符合三角函數(shù)的定義，且易于操作即可．

解答：解：
方案一（計算過程）
在Rt△ACD中，AC=DC•cotαRt△BCD中，BC=DC•cotβ，
∵AB=AC-BC，∴（cot30°-cot60°）DC=10，(

3

-

3

3

)DC=10，
解得DC=5

3

(m)；
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5

3

+1.5）m；
（測量結(jié)果）：DN=（5

3

+1.5）m；

方案二（計算過程）
在Rt△ACD中，AC=DC÷tanαRt△BCD中，BC=DC÷tanβ，
∵AB=AC+BC，∴(

3

+

3

3

)DC=20，
解得DC=5

3

(m)
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5

3

+1.5）m；
（測量結(jié)果）：DN=（5

3

+1.5）m；

方案三（不惟一）
能正確畫出示意圖
（測量工具）：皮尺、測角儀；（測量數(shù)據(jù)）：AM=a，AC=b，∠DAC=α
（計算過程）解：在Rt△ACD中，CD=b•tanα，
∵DN=DC+CN，AM=CN，
∴DN=b•tanα+a；
（測量結(jié)果）：DN=b•tanα+a．

點評：【命題意圖】本題是以活動報告的形式呈現(xiàn)，要求學生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，進行有關(guān)測量方案的設(shè)計．當然，這里所需解決的問題并非閱讀方案就能解決的，需要學生觀察、分析比較，進行適度的轉(zhuǎn)化與遷移，從而確定新方案．此外，在幾何背景中需要學生對幾何圖形的直觀感受，最終需要學生進行清晰的書面表達，因而本題較好地考查了直角三角形的有關(guān)知識和閱讀理解、幾何直覺、合情推理、書面表達等多種能力，較好的體現(xiàn)了對數(shù)學活動過程的考查．