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(2006•臨沂)如圖,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.設(shè)P,Q分別為BD,BC上的動點,在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時,點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動,移動的速度均為1cm/s,設(shè)P,Q移動的時間為t(0<t≤4).
(1)寫出△PBQ的面積S(cm2)與時間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式,當(dāng)t為何值時,S有最大值,最大值是多少?
(2)當(dāng)t為何值時,△PBQ為等腰三角形?
(3)△PBQ能否成為等邊三角形?若能,求t的值;若不能,說明理由.

【答案】分析:(1)△BPQ中,可根據(jù)Q的速度用時間t表示出底邊BQ的長,而BQ邊上的高,可用BP•sinPBQ來表示,根據(jù)三角形的面積公式即可求出S、t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值.
(2)本題要分情況討論:
①PB=BQ,可用t表示出BP,BQ的長,即可根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系求出t的值.
②PQ=BQ,過P作BD的垂線,設(shè)垂足為N,那么BN=,然后在直角三角形BQN中,用BN的長和∠DBC的正弦值表示出BN聯(lián)立前面BN的表達(dá)式即可求出t的值.
③PB=PQ,過P作PM⊥BQ與M,解法同②類似.
(3)如果三角形BPQ為等邊三角形,必為(2)題三種條件中的一種,然后按(2)的條件判斷三邊是否相等即可.
(其實本題可直接得出△PBQ不是等邊三角形,因為∠PBQ不可能是60°).
解答:解:(1)如圖1,自點P向BC引垂線,垂足為M,則PM∥DC,

∵DC=AB=3,BC=4,
∴BD==5.
當(dāng)P,Q運動t秒后,
DP=BQ=1•t=t,BP=5-t.
∴PM=
∴S△PBQ=•BQ•PM=•t•=-(t-2+
∵0<t≤4,
∴當(dāng)t=時,S取得最大值,最大值為

(2)若△BPQ是等腰三角形.
①如圖2,當(dāng)PB=PQ時,自點P向BC引垂線,垂足為M,則有BM=MQ.
方法一:
由△BMP∽△BCD,得
∴BM=

解得
方法二:
在Rt△BMP中,BP=5-t,BM=,cos∠DBC=

解得t=
②當(dāng)BQ=BP時,有t=5-t,解得t=
③如圖3,當(dāng)BQ=PQ時,自點Q向BD引垂線,垂足為N.
由Rt△BNQ∽Rt△BCD,


解得t=

(3)不能.
若△PBQ為等邊三角形,則BQ=BP=PQ.
由(2)②,知當(dāng)BQ=BP時,t=
由(2)①,知當(dāng)BP=PQ時,
∴BQ=BP與BP=PQ不能同時成立,∴△PBQ不可能為等邊三角形.
點評:本題是點的運動型問題,考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定等知識點.
(2)題在不確定等腰三角形的腰和底邊的情況下要分類討論.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀;
③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似?若存在,請找出M點的位置;若不存在,請說明理由.

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(2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀;
③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似?若存在,請找出M點的位置;若不存在,請說明理由.

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(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀;
③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似?若存在,請找出M點的位置;若不存在,請說明理由.

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②判斷△SBR的形狀;
③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似?若存在,請找出M點的位置;若不存在,請說明理由.

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