Question

【題目】如圖，正比例函數和反比例函數的圖象都經過點 A ( 3 , 3) ，把直線 OA 向下平移后，與反比例函數的圖象交于點B(6,m)，與x軸、y軸分別交于C、D兩點.

(1）求 m的值；

( 2 ）求過 A、B、D 三點的拋物線的解析式；

( 3 ）若點E是拋物線上的一個動點，是否存在點 E，使四邊形 OECD 的面積S1，是四邊形OACD 面積S的?若存在，求點 E 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為；（3），

【解析】

（1）由于反比例函數的圖象都經過點A（3，3），由此可以確定函數的解析式，又把直線OA向下平移后，與反比例函數的圖象交于點B（6，m），把B的坐標代入反比例函數的解析式即可確定m的值；

（2）由于直線OA向下平移后，與反比例函數的圖象交于點B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點，由此首先確定直線BD的解析式，接著可以確定C，D的坐標，最后利用待定系數法即可確定過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（3）如圖，利用（1）（2）知道四邊形OACD是梯形，利用已知條件可以求出其面積，設E的橫坐標為x，那么利用x可以表示其縱坐標，也可以表示△OEC的面積，而△OCD的面積可以求出，所以根據四邊形OECD的面積S1，是四邊形OACD面積S的即可列出關于x的方程，利用方程即可解決問題．

（1）∵反比例函數的圖象都經過點A（3，3），

∴經過點A的反比例函數解析式為：y=，

而直線OA向下平移后，與反比例函數的圖象交于點B（6，m），

∴m=；

（2）∵直線OA向下平移后，與反比例函數的圖象交于點B（6，），

與x軸、y軸分別交于C、D兩點，

而這些OA的解析式為y=x，

設直線CD的解析式為y=x+b，

代入B的坐標得：=6+b，

∴b=-4.5，

∴直線OC的解析式為y=x-4.5，

∴C、D的坐標分別為（4.5，0），（0，-4.5），

設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

分別把A、B、D的坐標代入其中得：

，

解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5

∴y=-x2+4x-；

（3）如圖，設E的橫坐標為x，

∴其縱坐標為-0.5x2+4x-4.5，

∴S1=（-0.5x2+4x-4.5+OD）×OC，

=（-0.5x2+4x-4.5+4.5）×4.5，

=（-0.5x2+4x）×4.5，

而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=，

∴（-0.5x2+4x）×4.5=×，

解之得x=4±，

∴這樣的E點存在，坐標為（4-，），（4+，）．