Question

如圖所示，對稱軸為x=3的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點B，O．
（1）求拋物線的解析式，并求出頂點A的坐標；
（2）連接AB，把AB所在的直線平移，使它經過原點O，得到直線l．點P是l上一動點．設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為t，當0＜S≤18時，求t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t取最大值時，拋物線上是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸方程即可確定a的值，由此可得到拋物線的解析式，通過配方可求出頂點A的坐標；
（2）根據A、B的坐標，易求得直線AB的解析式，進而可確定直線l的解析式，即可表示出P點的坐標；由于P點的位置不確定，因此本題要分成兩種情況考慮：
①P點位于第四象限，此時t＞0，四邊形AOPB的面積可由△OAB和△OBP的面積和求得，由此可得到關于S、t的函數關系式，根據S的取值范圍即可判斷出t的取值范圍；
②P點位于第二象限，此時t＜0，可分別過A、P作x軸的垂線，設垂足為N、M；那么四邊形AOPB的面積即可由梯形APMN與△ABN的面積和再減去△OPM的面積求得，由此可得到關于S、t的函數關系式，可參照①的方法求出t的取值范圍；
結合上面兩種情況即可得到符合條件的t的取值范圍；
（3）根據（2）的結論，可求出t的最大值，由此可得到P點的坐標；若△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，那么有兩種情況需要考慮：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；
可分別過Q、O作直線l的垂線m、n，由于互相垂直的兩直線斜率的乘積為-1，根據直線l的解析式以及Q、O的坐標，即可求出直線m、n的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標．
解答：解：（1）∵點B與O（0，0）關于x=3對稱，
∴點B坐標為（6，0）．
將點B坐標代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=．
∴拋物線解析式為．（2分）
當x=3時，；
∴頂點A坐標為（3，3）．（3分）
（說明：可用對稱軸為，求a值，用頂點式求頂點A坐標）

（2）設直線AB解析式為y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴
解得，
∴y=-x+6．
∵直線l∥AB且過點O，
∴直線l解析式為y=-x．
∵點P是l上一動點且橫坐標為t，
∴點P坐標為（t，-t）．（4分）
當P在第四象限時（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=×6×3+×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又t＞0，
∴0＜t≤3．（5分）
當P在第二象限時（t＜0），
作PM⊥x軸于M，設對稱軸與x軸交點為N，
則S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=
=
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又t＜0，
∴-3≤t＜0；（6分）
∴t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3．

（3）存在，點Q坐標為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．（9分）
由（2）知t的最大值為3，則P（3，-3）；
過O、P作直線m、n垂直于直線l；
∵直線l的解析式為y=-x，
∴直線m的解析式為y=x；
可設直線n的解析式為y=x+h，則有：
3+h=-3，h=-6；
∴直線n：y=x-6；
聯立直線m與拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴Q₁（3，3）；
同理可聯立直線n與拋物線的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
（說明：點Q坐標答對一個給1分）
點評：此題主要考查了一次函數、二次函數解析式的確定，函數圖象交點及圖形面積的求法等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．