Question

已知二次函數圖象的頂點為D（1，-4），且經過點A（-1，0）．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）設經過B、C、D三點的圓的圓心為O′，設⊙O′與x軸的另一個交點為E，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數的頂點坐標以及A點坐標，利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）首先求出二次函數與坐標軸交點坐標，進而得出CD，BD，BC的長度，進而得出答案；
（3）利用直角三角形的性質得出四邊形OMDE是矩形，進而求出即可．
解答：解：（1）∵二次函數圖象的頂點為D（1，-4），且經過點A（-1，0），
∴二次函數解析式為：y=a（x-1） ²-4，
將A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函數的關系式為：y=（x-1） ²-4；

（2）∵拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴點B坐標為：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴點C坐標為：（0，-3），
過點D作DM⊥y軸，DN⊥BN，BN∥y軸，
∴CD==，
BD===2，
BC==3，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）連接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四邊形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E點坐標為：（1，0）．
∴BE=2．
點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及矩形判定方法和直角三角形判定方法，根據已知得出CD，BD，BC的長度是解題關鍵．