Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D（1，-4），且經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為O′，設(shè)⊙O′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及A點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CD，BD，BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案；
（3）利用直角三角形的性質(zhì)得出四邊形OMDE是矩形，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D（1，-4），且經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1） ²-4，
將A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=（x-1） ²-4；

（2）∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（0，-3），
過點(diǎn)D作DM⊥y軸，DN⊥BN，BN∥y軸，
∴CD=

MD2+CM2

=

2

，
BD=

BN2+DN2

=

42+22

=2

5

，
BC=

OB2+CO2

=3

2

，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）連接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四邊形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0）．
∴BE=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及矩形判定方法和直角三角形判定方法，根據(jù)已知得出CD，BD，BC的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．