Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．⊙A與⊙B外切于點D，并分別與BC、AC邊交于點E、F．
（1）設EC=x，FC=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（2）如果△FEC與△ABC相似，求AD：BD；
（3）如果⊙C與⊙A、⊙B都相切，求AD：BD．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，得到BC=5．根據⊙A與⊙B外切于點D，并分別與BC、AC邊交于點E、F，得到AF+AB+BE=2AB=6，從而CE+CF=（AB+BC+CA）-（AF+AB+BE）=6．然后用x表示出y即可；
（2）利用△FEC∽△ABC，得到FC：AC=EC：BC和利用△EFC∽△ABC得到EC：AC=FC：BC，分別表示出比例式的各項即可求得兩線段的比值；
（3）如果⊙C與⊙A、⊙B都相切，分⊙C與⊙A、⊙B都外切（如圖一）和⊙C與⊙A、⊙B都內切（如圖二）兩種情況討論求得AD與BD的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC=5．
∵⊙A與⊙B外切于點D，并分別與BC、AC邊交于點E、F，
∴AD=AF，BD=BE，
∴AF+AB+BE=2AB=6，
∴CE+CF=（AB+BC+CA）-（AF+AB+BE）=6．
∵EC=x，FC=y，
∴x+y=6，
∴y=6-x，2＜x＜5．

（2）如果△FEC∽△ABC，那么FC：AC=EC：BC，
∴（6-x）：4=x：5，
∴x=

10

3

，
∴AD：BD=

4

3

：

5

3

=4：5；
如果△EFC∽△ABC，那么EC：AC=FC：BC，
∴x：4=（6-x）：5，
∴x=

8

3

，
∴AD：BD=

2

3

：

7

3

=2：7．

（3）若⊙C與⊙A、⊙B都相切，∴有兩種情況：
①⊙C與⊙A、⊙B都外切（如圖一），
∵CE、CF為⊙C的兩條半徑，
∴CE=CF，
設CE=x，CF=6-x，
∴x=6-x，∴x=3，
∴AD：BD=1：2；
②⊙C與⊙A、⊙B都內切（如圖二），
則CA+AF=CB+BE，
∵CA=4，AF=AC-CF=4-6+x=x-2，
CB=5，BE=BC-CE=5-x，
∴4+（x-2）=5+（5-x），
∴x=4，
∴AD：BD=2：1．

點評：本題考查了相切兩圓的性質及相似三角形的判定及性質，題目中很好的滲透了分類討論的數學思想．