Question

【題目】如圖，點P在正方形ABCD內，△PBC是正三角形，AC與PB相交于點E．有以下結論：

①∠ACP＝15°；②△APE是等腰三角形；③AE2＝PE·AB；④△APC的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，則S1：S2＝1：4．其中正確的是 （把正確的序號填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

試題分析：∵△PBC是等邊三角形，∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PCB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°， ∴∠ACB=45°， ∴∠ACP=60°﹣45°=15°，∴①正確；

∵∠ABC=90°，∠PBC=60°， ∴∠ABP=90°﹣60°=30°， ∵BC=PB，BC=AB， ∴PB=AB，

∴∠BPA=∠PAB=（180°﹣30°）=75°， ∵∠ABP=30°，∠BAC=45°， ∴∠AEP=45°+30°=75°=∠BPA，

∴AP=AE， ∴△APE為等腰三角形，∴②正確；

∵∠APB=∠APB，∠AEP=∠PAB=75°， ∴△PAE∽△ABP， ∴， ∴=PE·AB，

∴=PEAB；∴③正確；

連接PD，過D作DG⊥PC于G，過P作PF⊥AD于F，

設正方形的邊長為2a，則S2=4，等邊三角形PBC的邊長為2a，高為a，

∴PF=2a﹣a=（2﹣）a， ∴S△APD=SADPF=（2﹣），

∴∠PCD=90°﹣60°=30°， ∴GD=CD=a，∴S△PCD=PCDG=，S△ACD=2，

∴S1=S△ACD﹣S△ADP﹣S△PCD=2﹣﹣（2﹣）=（﹣1）＜，

∴S1：S2≠1：4． ∴④錯誤；