Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若再添加一個條件，即可證得四邊形AEDF為正方形，這個條件是

 

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Answer 1

分析：（1）由于AB=AC，那么∠B=∠C，而DE⊥AC，DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°，又∵D是BC中點，可知BD=CD，利用AAS可證△BFD≌△CED，從而有DE=DF．
（2）根據正方形的判定方法可知，當△ABC為等腰直角三角形時，四邊形AEDF為正方形．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵D是BC中點，AB=AC，
∴BD=CD，
在△BFD與△CED中，

∠BED=∠CFD ∠B=∠C DB=CD

∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）解：當△ABC為等腰直角三角形時，
則有AE=DE=DF=AF，四邊形AEDF為菱形，
又∵∠A=90°，
∴菱形AEDF為正方形．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、垂直定義、等腰三角形三線合一定理、全等三角形的判定和性質．同時要掌握正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進行判定．