Question

在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在BC延長線上，過點(diǎn)O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點(diǎn)D、E．
（1）點(diǎn)O在什么位置時(shí)，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有條件AO=CO，可得到四邊形ADCE為平行四邊形，再證明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)O為AC的中點(diǎn)則四邊形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵DC、CE是∠ACB與∠ACP的平分線，
∴∠DCE=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（2）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，四邊形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
則DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是證明EO=DO和∠DCF=90°．