Question

如圖：在△ABC中，AB=AC，P為BC邊上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若AC邊上的高BD=a．
（1）試證明：PE+PF=a；
（2）若點P在BC的延長線上，其它條件不變，上述結論還成立嗎？如果成立請說明理由；如果不成立，請重新給出一個關于PE，PF，a的關系式，直接寫出結論不需要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知，過P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，則△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD=a；
（2）過點C作CG⊥PE于G，則四邊形CGED為矩形，得到CD=EG，同理可證△PGC≌△CFP，則PF=PG，所以PE-PF=PE-PG=GE=CD=a．

解答：（1）證明：過P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），
∴四邊形PGDF是平行四邊形（兩條對邊互相平行的四邊形是平行四邊形）；
又∵∠GDF=90°，
∴四邊形PGDF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），
∴PF=GD（矩形的對邊相等）①
∵四邊形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（兩條直線平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的兩底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代換）
∵∠PEB=∠BGP=90°（已證），BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD=a；

（2）解：結論：PE-PF=CD．（2分）理由如下：
過點C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．
∴四邊形CGED為矩形．（3分）
∴CD=GE，GC∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．
在△PFC和△PGC中，
∵

∠PGC=∠PFC ∠GCP=∠FCP PC=PC

，
∴△PFC≌△PGC．
∴PF=PG．
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD=a．

點評：此題考查的知識點是全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，關鍵是作輔助線證矩形PGDF，再證△BPE≌△PBG．