Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長線）于點M，N．

（1）觀察圖1，直接寫出∠AEM與∠BNE的關系是；（不用證明）
（2）如圖1，當M、N都分別在AB、BC上時，可探究出BN與AM的關系為：；（不用證明）
（3）如圖2，當M、N都分別在AB、BC的延長線上時，（2）中BN與AM的關系式是否仍然成立？若成立，請說明理由：若不成立，寫出你認為成立的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∠AEM+∠BNE=90°
（2）BN⊥AM，BN﹣AM=2
（3）

解：當M、N都分別在AB、BC的延長線上時，（2）中BN與AM的關系式仍然成立．

證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BN⊥AM，

過E作EF⊥BC于F

∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點，

∴AE=EF=AB=BF=2，

∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，

∴∠AEM=∠FEN，

，

∴Rt△AEM≌Rt△FEN，

∴AM=FN，

∴BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2．

【解析】解：（1.）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEN=∠BNE，
∵∠MEN=90°，
∴∠AEM+∠DEN=90°，
∴∠AEM+∠BNE=90°，
故答案為：∠AEM+∠BNE=90°；
（2.）BN⊥AM，BN﹣AM=2；
證明：如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，
∴BN⊥AM，
過E作EF⊥BC于F，

∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點
∴AE=EF=AB=BF=2，
∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠NEF，
，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，
∴BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2；
故答案為：BN⊥AM，BN﹣AM=2；
（1）由矩形的性質可得AD∥BC，由平行線的性質定理可得∠DEN=∠BNE，由∠MEN=90°，易得∠AEM+∠DEN=90°，可得∠AEM+∠BNE=90°；（2）由矩形的性質可得BN⊥AM，過E作EF⊥BC于F，由E是AD的中點可得，AD=2AB=4，易得AE=EF，易得Rt△AEM≌Rt△FEN，由全等三角形的性質可得AM=FN，易得BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2；（3）同（2）可證得結論．