Question

21、如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求證：AB=CD；
（2）連接AE，若AE=DE，求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E是BC的中點(diǎn)，得出BE=CE，再利用∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，得出△BEF≌△CED即可得出答案；
（2）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF=90°．

解答：（1）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE．
∵∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．（1分）
∴BF=CD．（2分）
∵AB=BF，
∴AB=CD．（3分）

（2）證明：∵∠F=∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）
∴∠ABF=90°．（6分）
∴□ABCD是矩形．（7分）

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形的全等的證明以及平行四邊形的性質(zhì)和矩形的證明方法，此題綜合性較強(qiáng)注意知識之間的聯(lián)系．