Question

52、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O為AB上一點，以O為圓心、OB長為半徑的圓交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連OD，由OB=OD，AB=AC，可得到∠ODB=∠C，即OD∥AC，而DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，從而得到DE是⊙O的切線．

解答：證明：連接OD，如圖，
則OB=OD
∴∠OBD=∠ODB，
又∵AB=AC
∴∠OBD=∠C
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC
又∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法．若直線與圓有唯一的公共點，則此直線是圓的切線；若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則此直線是圓的切線；經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了等腰三角形的性質．