Question

已知：拋物線與x軸正半軸相交于點A，點B（m，-3）為拋物線上一點，△OAB的面積等于6．

（1）求該拋物線的表達式和點B的坐標；

（2）設C為該拋物線的頂點，⊙C的半徑長為2．以該拋物線對稱軸上一點P為圓心，線段PO的長為半徑作⊙P，如果⊙P與⊙C相切，求點P的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1），（1，-3）或（3，-3）（2）（2，0）、（2，）

【解析】解：（1）當y = 0時，得  x₁ = 0，x₂ = b． ……………………………………（1分）

∴  A（b，0），且b > 0．即得  OA = b．

由  △OAB的面積等于6，B（m，-3），

得  ．………………………………………………（1分）

解得  b = 4．

∴  A（4，0），拋物線的表達式為．……………………（2分）

∵  點B（m，-3）在拋物線上，

∴  ．

解得  ，．

∴  點B的坐標為（1，-3）或（3，-3）．…………………………（2分）

（2）∵  ，

∴  拋物線的頂點為C（2，-4），對稱軸為直線x = 2．……………（1分）

設P（2，n）．即得  ．…………………………………（1分）

當⊙P與⊙C相切時，有外切或內切兩種情況，并且n > -4．

（ⅰ）如果⊙P與⊙C外切，那么  PC = PO +2．

即得  ．

解得  n = 0．

∴  P（2，0）．…………………………………………………………（2分）

（ⅱ）如果⊙P與⊙C內切，那么  ．

即得  ．解得  ．

∴  P（2，）．………………………………………………………（2分）

∴  所求點P的坐標為（2，0）、（2，）．

（1）根據三角形OAB的面積等于6可以求得b = 4的值，從而可知拋物線的解析式；

       （2）注意兩圓相切有內切和外切兩種情況。