Question

有一個Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，將它放在平面直角坐標系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點A在反比例函數y=上，則點C的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：由于反比例函數的圖象是雙曲線，點A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因為斜邊BC在x軸上，所以可能點B在點C的右邊，也可能點B在點C的左邊，故一共分四種情況．針對每一種情況，都可以運用三角函數的定義求出點C的坐標．
解答：解：分四種情況．
①當點A在第一象限時，如右圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=時，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點C的坐標為（，0）；
②當點A在第一象限時，如右圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=時，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點C的坐標為（，0）；
③當點A在第三象限時，如右圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=-時，x=-2，∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點C的坐標為（-，0）；
④當點A在第三象限時，如右圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=-時，x=-2，∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點C的坐標為（-，0）．
綜上，可知點C的坐標為．
點評：分析出點C的位置有四種情況是解決本題的關鍵．