Question

如圖，直線l₁：y=kx+b平行于直線y=x-1，且與直線l₂：y=mx+

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2

相交于點P（-1，0）．
（1）求直線l₁、l₂的解析式；
（2）直線l₁與y軸交于點A．一動點C從點A出發，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線l₂上的點B₁處后，改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l₁上的點A₁處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線l₂上的點B₂處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l₁上的點A₂處后，仍沿平行于x軸的方向運動，…
照此規律運動，動點C依次經過點B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
①求點B₁，B₂，A₁，A₂的坐標；
②請你通過歸納得出點A_n、B_n的坐標；并求當動點C到達A_n處時，運動的總路徑的長？

Answer 1

分析：（1）根據直線l₁：y=kx+b平行于直線y=x-1，求得k=1，再由與直線l₂：y=mx+

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2

相交于點P（-1，0），分別求出b和m的值．
（2）由直線l₁的解析式，求出A點的坐標，從而求出B₁點的坐標，依此類推再求得A₁、B₂、A₂的值，從而得到A_n、B_n，進而求出點C運動的總路徑的長．

解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直線y=x-1，
∴y=x+b
∵過P（-1，0），
∴-1+b=0，
∴b=1
∴直線l₁的解析式為y=x+1；（1分）
∵點P（-1，0）在直線l₂上，
∴-m+

1

2

=0；
∴m=

1

2

；
∴直線l₂的解析式為y=

1

2

x+

1

2

；（2分）

（2）①A點坐標為（0，1），
則B₁點的縱坐標為1，設B₁（x₁，1），
∴

1

2

x1+

1

2

=1；
∴x₁=1；
∴B₁點的坐標為（1，1）；（3分）
則A₁點的橫坐標為1，設A₁（1，y₁）
∴y₁=1+1=2；
∴A₁點的坐標為（1，2），即（2¹-1，2¹）；（4分）
同理，可得B₂（3，2），A₂（3，4），即（2²-1，2²）；（6分）
②經過歸納得A_n（2ⁿ-1，2ⁿ），B_n（2ⁿ-1，2^n-1）；（7分）
當動點C到達A_n處時，運動的總路徑的長為A_n點的橫縱坐標之和再減去1，
即2ⁿ-1+2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-2．（8分）

點評：本題考查了一次函數和幾何問題的綜合應用，本題中根據點的坐標求出點與點的距離是解題的基礎．解答此題的關鍵是根據一次函數的特點，分別求出各點的坐標再計算．