Question

如圖1，已知，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，點P是CE的延長線上任意一點，BG⊥AP，
求證：(1)△AEP∽△DEB
(2) CE²＝ED·EP

若點P在線段CE上或EC的延長線上時（如圖2和圖3），上述結論CE²＝ED·EP還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（圖2和圖3挑選一張給予說明即可）

Answer 1

（1）∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；
（2）選圖2．成立，理由如下：
∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
即CE²=AE•BE．
和（1）中的證明同理，得△AEP∽△DEB，
∴，
即AE•BE=ED•EP，
∴BE=，即AE•BE=ED•EP，
又CE²=AE•BE，
∴CE²=ED•EP．

（1）根據等角的余角相等可以證明∠P=∠DBE，從而根據兩個角對應相等可以證明兩個三角形相似；
（2）根據相似三角形的性質進行證明．