Question

（1）已知△PMN中，PR為角平分線，Q為PR上一點，且∠MQR=∠NQR，求證：PM=PN；
（2）若把（1）中“PR為角平分線”換為“高線”，其它條件不變，結論“PM=PN”還會成立嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）由已知得兩角相等，加上公共邊，通過ASA證明△PQM≌△OQN來求得PM=PN；
（2）通過證明△PRM≌△PRN可知道結論“PM=PN”還會成立．

解答：證明：（1）∵∠MQP=180°-∠MQR，
∠NQP=180°-∠NQR，
且∠MQR=∠NQR．
∴∠MQP=∠NQP．
∵PR平分∠MPN，
∴∠MPQ=∠NPQ．
在△PQM和△OQN中

∠MQP=∠NQP PQ=PQ ∠MPQ=∠NPQ

，
∴△PQM≌△OQN．
∴PM=PN．

（2）結論“PM=PN”還成立．
理由如下：
∵PR為△ABC的高，
∴∠QRM=∠QRN=90°．
在△QRM和△QRN中

∠MQR=∠NQR QR=QR ∠QRM=∠QRN

，
∴△QRM≌△QRN．
∴△PRM≌△PRN．
∴PM=PN．

點評：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．