Question

如圖，已知四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=∠B=90°．E為AB上一點，且DE⊥DC，DF平分∠EDC交BC于F．
（1）請用尺規作圖作出DF，保留作圖痕跡，不要求寫作法；
（2）連EF，若tan∠ADE=

1

4

，求EF的長；
（3）在（2）的條件下，作DG⊥BC于G，連接AG，交DE于M，則MA的長為

8

5

2

．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的作法作圖即可；
（2）過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質證明△EDF≌△CDF，
由tan∠ADE=

1

4

根據已知條件可以求出AE=GC=2．設EF=x，則BF=10-CF=10-x，BE=6．在Rt△BEF中根據勾股定理即可求出x，也就求出了EF；
（3）利用已知得出△AEM∽△GDM，則

AM

MG

=

AE

DG

，求出AM即可．

解答：解：（1）如圖1所示：DF即為所求；

（2）如圖2所示：過D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，

∠ADE=∠GDC AD=DG ∠DAE=∠DGC

∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

4

，
∴AE=GC=2．
∴BC=10，
BE=6，設CF=x，則BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得：x=6.8，
即EF=6.8；

（3）如圖2所示：
由題意可得出：AB∥DG，
∴△AEM∽△GDM，
∴

AM

MG

=

AE

DG

，
∵AB=AD=8，∠A=∠B=90°，∠DGB=90°，
∴四邊形ABDG是正方形，
∴DG=8，
∵AE=2，
∴

AM

8-AM

=

2

8

，
解得：AM=

8 2

5

．
故答案為：

8 2

5

．

點評：本題考查了梯形、正方形、直角三角形以及相似三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質等相關知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質來求解．