Question

【題目】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個正方形的邊長與周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC

（2）解：如圖，設AD與EH交于點M，

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EF=DM，

設正方形EFGH的邊長為x，則DM=x，AM=30﹣x，

∵△AEH∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，

∴正方形EFGH的邊長為 cm，周長為 cm．

【解析】（1）根據四邊形EFGH是正方形，得到EH∥BC，進而得出∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，即可判定△AEH∽△ABC；（2）設正方形EFGH的邊長為x，則DM=x，AM=30﹣x，根據△AEH∽△ABC，得出 = ，即 = ，進而解得x= ，即可得出正方形的邊長與周長．