Question

如圖，P為正方形ABCD邊BC上任一點，BG⊥AP于點G，在AP的延長線上取點E，使AG=GE，連接BE，CE．
（1）求證：BE=BC；
（2）∠CBE的平分線交AE于N點，連接DN，求證：BN+DN=

2

AN；
（3）若正方形的邊長為2，當P點為BC的中點時，請直接寫出CE的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）BG垂直平分線段AE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，AB=BE，又AB=BC，所以BE=BC；
（2）標準答案上僅用等腰三角形和直角三角形通過∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB，得出Rt△BPG是等腰直角三角形，進而得到，AM=GN；
（3）先求出BG的長度，根據(jù)P為BC的中點，CN=BG，再根據(jù)△CNE為等腰直角三角形即可求出CE的長度．

解答：（1）證明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分線段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）證明：連接CN，延長BN交CE于H．
自點D作DM⊥AN于M，

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延長AE交DC延長線于F，則有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五點共圓，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對圓周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

2

DM=

2

AG=DN，

2

GN=BN，

2

AG+

2

GN=

2

AN=BN+DN；

（3）根據(jù)勾股定理，AP=

AB2+BP2

=

22+12

=

5

，
∴BG=

2×1

5

=

2 5

5

，
∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，
∴△BPG≌△CNP（AAS），
∴CN=BG，
∴CE=

2

CN=

2

×

2 5

5

=

2 10

5

．

點評：本題綜合性較強，主要利用線段垂直平分線段判定和性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，綜合運用各定理和性質，并分析題目用已知條件和所要證明的結論之間的關系是解本題的關鍵，準確作出輔助線對解決本題非常重要，需要同學們在平時的學習中不斷提高自我并完善各知識點之間的聯(lián)系，本題難度較大．