Question

15．已知：如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)是CD的兩個(gè)點(diǎn)，EG⊥AC，F(xiàn)H⊥AC，垂足分別為G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，則EG+FH=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，延長EG交AB于Q，則△EQM是直角三角形，四邊形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ=CF=2，F(xiàn)H=QG，然后在Rt△EMQ中，根據(jù)勾股定理求得EQ=$\sqrt{E{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，即可得到EG+QG=EG+FH=$\sqrt{5}$．

解答 解：過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，延長EG交AB于Q，則△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，F(xiàn)H⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CHF=∠AGQ}\\{CH=AG}\\{∠FCH=∠QAG}\end{array}\right.$，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，F(xiàn)H=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四邊形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ=$\sqrt{E{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即EG+QG=EG+FH=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形、矩形以及全等三角形，根據(jù)矩形對邊相等及全等三角形對應(yīng)邊相等進(jìn)行計(jì)算求解．