Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點C在y軸正半軸上，已知點B（4，2），D（-1，0），且一次函數y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積．
（1）求等腰梯形ABCD的中位線長及一次函數y=kx-1中k的值．
（2）若關于x的函數y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點P，根據等腰梯形的性質可得OD=AE，從而可得出AD的長，這樣即可求出中位線的長，然后判斷出一次函數經過點P（2，1），利用待定系數法求解k的值即可．
（2）分類討論，①當m=0時，②當m≠0時，1°拋物線經過原點，2°拋物線不經過原點，分別得出判別式應滿足的條件，從而得出m的值．
解答：解：（1）過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點P，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OD=AE，
∴AD=OD+OE+AE=2OD+BC=6，
故中位線的長度=（BC+AD）=5；
又∵Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴△ODC和△EAB的面積相等，
由圖可知P為矩形OCBE的對稱中心，則過P點的直線平分矩形OCBE的面積，
故可得一次函數y=kx-1的圖象經過點P，
∵點B（4，2），O（0，0），
∴P點坐標為（2，1），
代入得：2k-1=1，
解得：k=1．

（2）∵y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，
分情況討論：①當m=0時，y=-x+1，其圖象與坐標軸有兩個交點，分別是：（0，1），（1，0）；
②當m≠0時，函數為拋物線，且與y軸總有一個交點（0，2m+1），
1°若拋物線過原點時，2m+1=0，即m=-，此時△=（m+1）²＞0，符合題意；
③若拋物線不經過原點，則此時△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，
解得：m₁=m₂=-1；
綜述m的值為m=0或-或-1．
點評：此題考查了一次函數及等腰梯形的知識，解答本題第一問的關鍵在于判斷出一次函數圖象經過點P，第二問注意分類討論，不要漏解，難度較大．